Настройте решетку в верхней части духовки и разогрейте её до режима гриля.
В большой сковороде разогрейте масло на высоком огне до появления блеска, около 30 секунд. Добавьте нарезанный лук и готовьте, пока одна сторона не подрумянится, около 5-7 минут. Перемешайте лук и готовьте до подрумянения с другой стороны, еще 5-7 минут.
Добавьте соль и бульон, готовьте, пока большая часть жидкости не впитается, около 2 минут. Добавьте соус Ворчестер, уксус, тимьян и черный перец, готовьте до появления аромата, около 1 минуты. Снимите с огня.
В отдельной миске взбейте майонез и горчицу, если хотите, перелейте в бутылочку для подачи.
Выложите булочки на противень, поместите хот-доги, полейте соусом и добавьте 1/3 стакана карамелизированного лука. Посыпьте тертым сыром.
Бройте в духовой печи около 2 минут, пока сыр не расплавится. Украсьте листьями тимьяна.